Подскажите, пожалуйста, нужно ли мне после чипирования самому где-то регистрировать информацию о кошке?

Не надо. Никак не отображается, чип - это просто уникальная последовательность символов. Номер сверяется с тем, что в паспорте животного, и можно сказать, что прививка была сделана именно этому животному.