Общаются ли в Батуми на русском языке? Или английский надо подтянуть? И в кафе, например? В меню есть вариант на русском?

Смотря какое кафе, и какой там персонал. Если знают русский на достаточно хорошем уровне, то могут и на русском. Если нет, то на английском можно попробовать.

Английский подтянуть никогда не помешает, но в большинстве случаев говорят на русском.

90% из тех кто старше 30 точно говорят, молодеж бывает только Английский или только грузинский.