Подскажите, пожалуйста, есть ли какие-нибудь способы сохранить свой номер и тариф МТС после переезда в Сербию и при этом, не оплачивая ежемесячно плату по тарифу?

В личном кабинете МТС подключаете услугу «Добровольная блокировка». Стоит это 1,1₽ в сутки. На год около 400 рублей закиньте на счет и всё. Смс и звонки будут недоступны, соответственно.

Есть, и несложный. Переключаете свой тариф на тариф без абонентской платы + подключаете самую дешевую услугу, например "вам звонили". Все вместе будет стоить около 50 рублей в месяц. Дальше - Следите за балансом и подкидываете денег. - Входящие звонки и исходящие только через vowifi, либо осваиваете мтсКоннект - Если предыдущий пункт осваивать не хотите, то просто не звоните сами и не берете входящие звонки.