Подскажите, можно ли каким-то альтернативным способом получить титры к бешенству для перевозки домашнего питомца?

Нет, разве что сдавать "срочный анализ" на титры, который подразумевает получение результата на руки от 1 до 3 раб дней. Но это смотря где сдавать, в какой стране и городе.

Ну и не забирайте. Достаточно электронной версии.