Скажите, доверенность, по которой могут за тебя в РФ получить документы, можно только в Консульстве в Черногории получить? Или в Будве есть авторизованный нотариус также?

Вы можете сделать у любого нотариуса доверенность + заверенный перевод на русский. Но в России не все любят такие доверенности и могут докопаться. В консульстве вам просто сразу на русском сделают. Но там очередь и не попадёшь.