Подскажите, пожалуйста, нужно ли идти в налоговую после подачи заявки на малый бизнес?

С лета кажется уже не надо. Вам все документы же онлайн прийдут.

Не нужно, заявку подаете через личный кабинет, ее сразу же аппрувят (если верно заполнили), статус начинает действовать на доходы со следуюйщего месяца.