Подскажите, пожалуйста, есть ли какие-нибудь банки, которые нормально принимают swift из России, где можно получить счёт для физлиц без трудового договора?

С гражданством РА и регистрацией можно пробовать разные. Также можно, открыв ИП и счета для ИП (для этого потребуется контракт хотя бы с одним клиентом). Это считается трудовой деятельностью даже без единого полученного перевода.

У вас хорошие документы для некоторых банков. с америей вы погорячились, но ардшин, арарат, армэконом и арцах в целом вам должны подойти.