Подскажите, если в РФ был оформлен как самозанятый по аренде жилья, и становлюсь налоговым резидентом Армении, нужно ли будет платить какой-то дополнительный налог здесь на эту деятельность и в РФ в связи с изменением статуса на нерезидента РФ?

Нужно будет точно, если по закону. Какой именно — только юрист скажет, которого мы пока не встречали. В армении ндфл 21 процент, но на доходы с аренды — кажется 10. Относится это к зарубежной недвиге и вообще в целом — пока ничего непонятно.

Насколько я изучал эту тему, утрата налогового резидентства в РФ не влияет (пока что) на изменение суммы налога по самозанятости. То есть, можете продолжать сдавать и платить тот же налог. А вот если вы, например, делали и продавали бусы в Москве, а потом решили это делать в Ереване, вот тут уже будет смена региона деятельности и скорее всего без увеличения налога и проблем в Армении не обойтись.