Что лучше, страховка своей страны или может здесь лучше застраховать, у местных компаний или сразу в больничной кассе, например?

Лучше своя. У меня Тинькофф все покрыавает. И лекарства, и стоматология. И даже франшизу от аренды авто и так далее. И даже вызов скорой помощи, что не входит в местную страховку.