Я трудовой договор подписала с компанией электронной подписью. Обычно в России после этого мне присылали бумаги на живую подпись, нужно ли будет такое в Грузии?

Как хотите. Здесь нет требований к такого рода договорам, решать Вам и Вашему заказчику. При необходимости при проверке банк либо налоговая просто свяжутся с Вашим заказчиком и уточнят у него лично, подписывал ли он данный договор, например.