В каком законе написано, что регистрацию в Киргизии гражданам РФ делают просто потому, что кто-то согласился этого гражданина зарегистрировать?

Насчёт регистрации всё как раньше: нужно сделать в течение 30 дней, а 90/180 касается визаранщиков.

По регистрации пока ничего не менялось. Без оформления документов и суммарно это может интерпретироваться как то, что можно ездить как и раньше туда-сюда, но теперь это не будет расцениваться как "обнуление" (ака визаран). Но по истечении 90 дней в течении 180 необходимо будет оформлять документы для последующих въездов (т. е. делать регистрацию).