Подскажите, пожалуйста, есть ли для новоприбывших в Ирландию какая-то иная возможность подтвердить свои финансы кроме пейслипа? Для того чтобы снять квартиру.

Договор найма с суммой зарплаты + выписка из банка.

А, ещё "to whom it may concern" письмо от работодателя с должностью, зарплатой и датой начала работы. Обычно в HR должны представлять что это, такие письма не только иностранцам нужны.