Можно ли в российское посольство в Лиме идти отдавать справку на апостиль без записи? Или всё равно надо им писать запрос на приём, чтоб апостилировали?

Записываться надо в любом случае. Апостиль - процедура не на 5 минут, как в России. Если успеют за 2-3 мес - оч повезёт. Дипломатическая почта - вот причина. Позвоните им, они вас проконсультируют, как сейчас с этим дела обстоят. Там оч доброжелательные сотрудники.