Если гражданин РФ, находящийся в РА хочет получить новый загранпаспорт - в Ереване или в Гюмри, - но при этом срок старого загранпаспорта еще не истек, можно ли этот старый загранпаспорт себе оставить как-нибудь?

Если второй загран на 10 лет, то можно. если на 5 - то нельзя.

Десятилетний оставляют, но некоторые тонкости есть. Например, многим кто родился в Питере до 1991 года, МВД во внутреннем паспорте писал местом рождения Петербург. МИД же считает, что это был Ленинград и при выдаче второго заграна аннулирует первый. Еще старый аннулируют если ему осталось жить несколько месяцев.