Еду в Калининград из РБ, планирую брать авто на прокат, но как для иностранца необходимо предъявить документ о регистрации в Российской Федерации, что это за документ и как его получить?

Речь, видимо, не о регистрации, а о постановке на миграционный учет. Это миграционная карта и отрывной талон уведомления о прибытии в место пребывания. Получается в том месте в зависимости от того где вы остановились.