Что с троллейбусами в Бишкеке? Насколько я понял, там только безналичный расчёт - но они требуют какую-то специальную транспортную карту или можно оплачивать обычной банковской картой? Карта Бакая подойдёт?

Платила картой Бакай, как раз. Вполне подойдёт.

Чаще всего есть возможность оплатить картой, но я попадал на автобусы, где только для Тулпар-карт (

Можно не светить карту банковскую, а скачать приложение Тулпар. Завести там виртуальную карту, пополнять с того ж Бакая. И QR код считывать с троллейбуса.

А когда отменили оплату наличкой? Вроде еще в мае можно были просто менетками платить.