Посоветуйте пожалуйста, в каком районе лучше снять квартиру, чтобы вечером в пешей доступности было где погулять, а дней сесть на транспорт и уехать на экскурсию.

Очень много вариантов квартир, отелей и др на суточно. ру. Там по карте можно искать. Варианты обозначены с ценой за сутки, смотрите по расположению. Мы так себе квартиру бронировали. Цены ниже, чем в отелях. Есть очень приличные варианты в Пятигорске, Кисловодске. И близко ко все достопримечательностям в том числе.

Авито самый полный сайт по квартирам.