Сколько можно находиться в Узбекистане гражданам России? Я знаю, что после 15 дней нужна временная регистрация, которая действует до 6 месяцев. А после 6 месяцев её можно продлить? Или нужно выезжать из Узбекистана?

Да. Можно продлить без выезда. Если планируете пребывать более 15 дней, то регистрацию надо делать в течение 3 дней с приезда. Если находиться в РУз до месяца, можно регаться через онлайн (не пообовал). Если больше, то с владельцем квартиры, в которой регистрируетесь, идти в паспортный стол. За регистрвцию надо платить пошлину. Гостиницы делают регу на период проживания сами.