Подскажите, в Грузию можно въехать по одному загранпаспорту, в выехать по-другому (там виза конечной страны)

А какая проблема? Так в конечной стране штамп и поставят в другом паспорте. А из Грузии нужно выезжать (или хотя бы предъявить) по тому паспорту, по которому въехали - они смотрят, сколько вы находились в Грузии.