Скажите, пожалуйста, когда приезжает студент, нужно ли оформлять какую-то прописку/регистрацию у арендодателя, и можно ли в таком случае иметь краткосрочный договор/временное жилье?

Можно иметь какой угодно договор, но обязательно нужна бумага Wohnungsgeberbestätigung. Если вы снимаете только на 12 мес (например) и вас рассказывают, что она якобы не выдаётся на такой срок - это всё сказки. Выдаётся ещё как. Обязанность зарегистрироваться у вас есть.

Срок аренды по сути не важен. Важно, что хозяин жилья согласен дать Wohnubgsgeberbestätigung, на основании которого делается Anmeldung в Bürgerbüro. При длительной аренде эио как бы само собой разумеется. При короткой аренде нужно обговаривать Я на первое время снял на airbnb. Хозяйка без проблем сделала, хотя срок был меньше 3 месяцев даже.