Может кто нибудь сталкивался с такой ситуацией. Если взять Шенгенскую визу на 3 недели в Италию, получится ли потом в Италии продлить его на 2 месяца?

Может Вам на 3 недели и не дадут. Нет, нельзя, это же не абонемент в спортзал.

Нет конечно, нельзя продлить визу. Нужно обращаться за новой при этом вернувшись домой и не нарушив сроки пребывания по текущей.

Визу выдаёт Консульство Италии. Консульств Италии на территории самой Италии не существует.

Продлить визу нельзя. Получить новую, находясь внутри Италии - тоже.