Кто знает, нужно ли отказываться от российского гражданства после получения сербского паспорта?

Да, только до.

Пока надо, может отменят эту норму про запрет на двойное гражданство.

Там же можно сдать экзамен по языку и истории и тогда, вроде, не надо.