Что делать, если решение по продлению визы Венгрии задерживается, а текущий внж истекает уже скоро? Нужно ли покинуть страну или какая вообще процедура?

Покинуть страну можете, но вернуться нет, если не будет карты внж или визы С, если вы из визовой страны. На пребывание на территории Венгрии и беспроблемный выезд лучше получить в миграционной разрешение на временное пребывание, это бумажка такая розовая будет. Но въехать по ней вы не сможете обратно.