Кто подскажет, в августе закончились российские права, как к такому отнесутся инспектора? И как теперь вообще поступить? Получать грузинские?

Закончились значит их нет. Можете тут слать на грузинские или вернуться в Россию и сделать.

Я бы попробовал через госуслуги во Владикавказ записаться. Ну или здесь сдать, это не должно быть сложно, им даже полезно - ознакомиться с теоретическими основами отличий, а они есть.