Подскажите, пожалуйста, при подаче документов на новый загран паспорт в консульстве РФ на Кипре, старый забирают?

Нет конечно. И при выдаче нового старый оставят. Можно иметь два паспорта.

Я получал второй наравне с первым действующим. Если у вас там действующая виза так же не заберут.

Забирают, только если подаете на пятилетний. Если на 10-летний, то оставляют первый. Я только что эту процедуру прошла. Сначала хотела сделать пятилетние и себе, и детям, чтобы побыстрее. У меня был действующий на 10 лет, у детей - на 5. Но мне сразу сказали, что после выпуска паспортов на 10 лет, наши действующие аннулируются. Пришлось подавать на 10-летние всем, так как мне нужен был второй комплект.