Подскажите, едем в Абхазию и только дошло, что машина оформлена на тёщу, а не на водителя, который пересекает границу. Будут ли какие-то проблемы с пересечением границы, если авто не зарегистрирован на меня?

Наверно, лучше доверенность оформить. Проходили границу на машине жены, жена пешком я за рулем, проблем нет. У вас как то все проблемно. И сразу возьмите страховку после перехода, гаи строго проверяют на постах только ее.