Подскажите пожалуйста, если с нами на машине в Абхазию едет чужой ребенок, кроме доверенности надо ли что еще? Могут ли быть проблемы? Как на границе с этим?

Помимо нотариального Согласия от одного из родителей на выезд за границу, с указанием республики Абхазия, документы ребенка тоже проверьте - если младше 14 лет то на свидетельстве о рождении должен быть штамп о гражданстве либо загранпаспорт, если от 14 лет, то паспорт либо РФ, либо загран. Если все документы в порядке, то проблем никаких.