Полиция отказывается оформлять белый картон на меня в моем доме. Въехал в Сербию, получил белый картон в хостеле ( распечатку еТуриста).

Попробуйте в другую смену к другому сотруднику попасть или ночью к дежурному. Полиция обязана оформить в вашем случае вам новый БК.

По идее белый картон действует с момента регистрации до выезда из страны, никаких дат на нем нет.

Когда вы оформляете боравак, вы пишете адрес проживания, на него вы будете "пријавлены" по боравку. По правилам вам, конечно, нужно получить новый БК, но тут имеет место обычная лень. Сами подумайте: они вас регистрируют как иностранца по БК, а потом по боравку ещё раз.)))