Подскажите, пожалуйста, можно ли у Туркишей выпускать кошку из переноски во время полёта? Нужно ли спрашивать разрешение? Есть ли разница кошечка или собачка?

Ни у кого нельзя выпускать.

Нет, нельзя. таким образом вы нарушаете правила перелета и доставляете другим пассажирам неудобства. плюс подвергаете опасности животное. если кому-то разрешили, не значит что можно.