Если у российского гражданина в Бишкеке паспорт истек, но он не хочет иметь дело с российскими властями/посольством, что ему делать?

Ехать в РФ, менять паспорт. Для замены у вас есть кажется 30 дней. Потом будет штраф. Других вариантов нет. В посольстве РФ выдают только загран, общероссийский нет. А если он просрочен, то и загран не оформят. Если у вас есть загран, то живёте по нему.