В Милане прошла через турникет в метро по билету, билет потерялся, а на выходе мне выписали штраф как будто я через турникеты прыгаю….

Если в Италию больше не планируете приезжать, можете не платить . Если планируете, пойти и оплатить.

Если у вас нет гражданства или ВНЖ в ЕС, можете и забыть. А так да, в Милане билет нужен на везде. Как, например, на электричках в Москве. Тоже на выходе без билета оштрафуют. Правила есть правила.