А кто-то знает, договор аренды обязательно должен быть зарегистрирован в налоговой, чтобы оформили пермессо потом?

Любой договор должен быть зарегистрирован в налоговой, чтобы он был легальным.

Собственно договор аренды для пермессо не требуется. Требуется или резиденца (прописка), или idoneità alloggiativa (пригодность жилья для проживания), а вот для них требуется обычно официальный договор аренды. Так что да, он должен быть зарегистрирован в agenzia delle entrate.