Для визы Номада есть требования по прошедшему времени работы на текущего работодателя? Например, устроюсь я удаленщиком, заключу договор, и в тот же день могу подаваться? Или надо например полгода отработать, и только после этого можно?

Формально нет, но они требуют подтверждение дохода за год перед подачей. при этом не прописано вроде нигде, что доход должен быть именно от текущего контракта.

При этом учитывая специфику текущего применения закона - могут попросить любой документ, в том числе и подтверждение что вы работаете дольше определенного срока.