Подскажите, пожалуйста, когда приезжаешь в Турцию на отдых без тура, нужно ли регистрировать свое пребывание где-то? При выходе из самолета или уже идти регистрироваться самостоятельно?

Нет.

При заселении в квартиру у нас охрана делала фото загранпаспортов, вроде они в какую-то базу заносят данные.

Если вы живёте в отеле, он вас регистрирует сам. Если снимаете хату через агентство, то они обязаны. Если снимаете просто так - то никто вас не зарегает. Могут ли быть проблемы? Про такие случаи пока не слышал. Но сейчас участились рейды полиции на нелегалов. Может, могут и таких как вы заодно штрафовать, это пока неизвестно.