Мы планируем родить ребёнка в Аргентине, получить на него гражданство и сразу податься на гражданство самим

Податься можно, но далеко не факт, что дадут. Суд делает запросы во все инстанции, в том числе в миграционку. Им будет очень интересно узнать, что вы не только не подали документы на вид на жительство, но ещё и покинули страну. Плюс не имеете в ней доходов. Как следствие - отказ. Но подать можно, никто не запрещает)