Подскажите, можно ли только с DNI или даже без него гражданину РФ получить в Аргентине (Уругвае, Чили, Боливии и т. д) визы Шенгена? Если такие случаи есть, то какие страны проще дают ? И что для этого могут потребовать ?

Конкретных случаев не знаю, но у стран Шенгена (в отличие от США) есть единое правило: визы даются только резидентам тех стран, где виза запрашивается. Соответственно, имеющий ДНИ может обращаться тут за визой Шенгена. Турист - не может.