Подскажите, пожалуйста, если мою собаку из Турции на Кипр повезёт подруга ( а во всех справках, титрах на бешенство моё имя) пропустят ли их без проблем?

В титрах не важно, справки должны быть на имя перевозчика и в паспорте тоже она должна быть вписана хозяйкой.

Вписать в паспорт её имя можете сами (в том числе стирающейся ручкой), там может быть указано больше одного хозяина. Получать всякие справки на вывоз она должна будет ходить сама на свое имя.