Если еду на авто из России в Абхазию, машина оформлена на мать я в страховку вписан, могут возникнуть проблемы, что с нашей стороны что с их?

Если мама не с Вами, то по всем нормативам - Вам нужна нотариальная доверенность с правом выезда зарубеж. Но! ее не спрашивали ни разу. Ни с той, ни с той стороны. А для страховки уже внутри Абхазии потребуются данные паспорта мамы. Возьмите их с собой. Если решите ехать без нотариалки - то мой Вам совет - составить обычную доверенность, в котором есть пункт о том, что Вы имеете право выезжать за пределы границы РФ. Со всеми данными мамы и ее подписью.