Что такое certificate of eligibility ? И кто его дает в случае поездки в Японию на год для стажировки в НИИ ?

Это СОЕ, сертификат, подтверждающий статус. Ваши документы японский гарант (школа, институт, работодатель) передаёт в миграционный отдел, там их рассматривают и в случае одобрения оформляют для Вас этот самый сертификат о соответствии статусу, на основании которого Вам выдадут визу для долгосрочного пребывания.