Подскажите, пожалуйста, в Черногории в МУПе можно вытащить папку с документами на боравок и перевезти их в другой город для подачи?

Так не делается. Если внж еще не получили, можно написать отказ и забрать кое-какие бумаги и то могут заартачится и все не отдать. Если уже получили, просто с новым договором аренды идете в том городе где вы переехали к Инспектору по иностранцам и сообщаете что переехали и на продление уже подаете в мупе этого города.