Подскажите, если у туристической визы Саудии выйдет срок действия, можно ли перейти границу и въехать в Саудию с новой туристической визой?

Нет, потом вы по ней въехать не сможете, надо ждать срока ее истечения и делать новую. Есть бизнес-визы на 5 лет с визараном на 90 дней, ее нужно получать в посольстве КСА в стране гражданства.