Можно ли имея разрешение на работу во Франции, но не имея carte vitale, трудоустраиваться?

Не думаю. У вас соцотчисления должны быть по номеру SS. Её обязательно просят при устройстве на раьоту.

И всё же можно. Вот что пишет интернет : l'employeur doit dans ce cas faire appel aux services de l'Urssaf pour l'obtention d'un numéro technique temporaire afin de compléter la DUE (déclaration unique d'embauche). Так что можно, просто работодатель должен сделать дополнительные телодвижения и большинство не захочет заморачиваться .

Можно. Просто работодателю придётся запросить соц номер (сделать процедуру immatriculation d'un employé étranger, не все правда хотят или умеют это делать) или же вы сами можете его заранее запросить.

Можно с временным номером секюрите который вам должны выдать сразу, ещё до получения карты. Посмотрите на сайте aide-sociale. fr Вообще по факту можно сначала сделать контракт а потом разбираться с номерами. У меня так было когда я только приехал во Францию. Сама карта заняла 8 месяцев.