Забирают ли старый загранпаспорт при подаче на новый?

Если скажешь что потерял то нет.

В России можно 2 паспорта, в Грузии только 1.

Не забирают, не слушайте глупых советов и не врите. При подаче выбираете, что получаете паспорт в дополнение к имеющемуся, и всё.