Подскажите, пожалуйста, если меняешь в течение месяца место жительства в Сербии, то получаешь второй белый картон, а первый аннулируется, второй переоформляется с даты заезда в новую квартиру или с даты приезда в страну?

Новый оформляется с даты, когда вы его оформляете. Это аналог регистрации по месту пребывания, он напрямую не связан 30-дневным безвизовым сроком пребывания в стране для россиян. Поэтому 30 дней правильнее отсчитывать от даты пересечения границы в паспорте. Т. е. визаран по паспорту, а белый картон в любом случае делать в течение 24 часов после визарана.

Каждый раз когда меняете место проживание делаете БК новый(это типа прописка, учёт вашего местоположения для полиции) старый бк не нужен, но можете сохранить на память)) без визовые дни к белому картону не относятся, после визарана делайте снова новый бк в течении суток.