Подскажите, пожалуйста, может ли гражданин РФ, передвигаться на автомобиле с грузинскими номерами по России, если автомобиль зарегистрирован в Грузии на родственника( есть какие-то варианты по доверенности , либо еще как-то)

В данном случае нет вариантов. Только растамаживать. На армянских номерах люди ездят потому что Армения в едином таможенном пространстве, а Грузия нет. Да и у "армянских" ездоков бывали периоды проблем.

Если ваш родственник с грузинским гражданством на своей машине заедет в РФ, оформит временный ввоз и потом эту машину отдаст вам, то ездить можно, но по закону пользоваться автомобилем может только тот кто ввез, всякие "доверенности" не дают такого права. На практике - на усмотрение конкретного гаишника. Может отпустить, а может оформить по закону и сделать много проблем. В целом - не стоит того.