Возможно ли из России улететь в Бишкек, а через месяц прямым рейсом из Бишкека в Астану? По паспорту РФ. Или понадобится загран паспорт/перелет через РФ?

В Бишкек по внутреннему паспорту РФ Вас пустят. и в Казахстан тоже. но на срок не более 90 дней.

По российскому внутреннему паспорту можно без регистрации до 30 дней. Если меньше - улетите без проблем. До 90 дней это было раньше, сейчас - 30.