Я лечу в Барселону через Баку, а обратно из Рима как раз через Ереван. Могут ли в Ереване быть проблемы из-за этого? Пустят вообще ?

Ну вы медленнее будете проходить паспортный. Я уже два раза так летала, первый раз минут 30 простояла. Спрашивали цель поездки туда, национальность, крутили паспорт несколько раз. Уходили, приходили, потом пропустили. В следующие разы было быстрее, но с теми же вопросами.

Вполне серьезно, личный опыт. В декабре был в Баку, в январе в Рим летел через Ереван - минут 15 мурыжили вопросами зачем посещал Азербайджан. Потом в марте так же, а на 3 раз и дальше штамповали просто как и всем.

Да не будет проблем. Но будут настойчиво спрашивать, что Вы делали в Армении/Азербайджане, а зачем, а почему. Ничего страшного.

У меня есть штампы Баку, ничего никто не спрашивал в Ереване.

Выборочно.