Подскажите, если виза начинает действовать с 24 числа, а самолет прилетает в Рим 23 в 23: 20, что будет? и пустят ли на рейс в Стамбуле?

Вообще не должны бы посадить на рейс - на момент приземления самолета на территории Италии у вас нет законного основания для въезда. Но попробуйте поуговаривать на посадке, пообещайте, что протусуетесь лишние 20 минут (с учетом времени на рулежку и стыковку столько примерно и останется до полуночи, если прилет будет вовремя) в зоне прилета (в туалете, например) до паспортного контроля. Может, и выйдет.