Такой вопрос: нужен ли Российский техосмотр авто для проезда границы и в самой Абхазии.

Нет, СТС достаточно, даже страховка не нужна, если не собственник, можно сказать что собственник проходит пешком как посажир)

Нужна Абхазская страховка, после пересечения границы.

Нет, не нужен.