Подскажите пожалуйста, в Белграде можно ли не арендовать, а воспользоваться каршерингом?

Нет тут таких сервисов.

Каршеринга тут нет, но машину арендовать легко и быстро, сервисов тут полно. По моему опыту в balkan: пришёл в салон/офис, спросил какие доступные авто есть, выбрал, дал картон, паспорт и действительные права, подписал бумажку, внёс депозит и отдал за аренду. Дальше вас сотрудник проведёт к машине, зафиксирует уже существующие повреждения (царапины и вмятины - если есть) и можете ехать. Занимает полчаса, как правило минимальная аренда - 24 часа.